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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
e) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$
e) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso fijate que tenemos que pedir que $1+x^{2} \neq 0$. Sin embargo, esta expresión nunca vale cero, para ningún real. Por lo tanto el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
2) Derivamos $f(x)$
Atenti, regla del cociente!
\( f'(x) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} \)
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
\( \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = 0 \)
\( 1 - x^2 = 0 \)
Terminando de despejar, los puntos críticos en este caso son $x=-1$ y $x=1$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -1 \)
b) \( -1 < x < 1 \)
c) \( x > 1 \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( x < -1 \), \( f'(x) \) es negativa y \( f(x) \) es decreciente
En \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) \) es positiva y \( f(x) \) es creciente.
En \( x > 1 \), \( f'(x) \) es negativa y \( f(x) \) es decreciente.
Entonces, recapitulando:
Intervalo de crecimiento: $(-1,1)$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$